Τα Θεμέλια των Μαθηματικών

Η μετάβαση από τα Μαθηματικά του σχολείου στα Μαθηματικά του πανεπιστημίου σπάνια είναι ομαλή. Οι φοιτητές έρχονται αντιμέτωποι με ένα χάσμα μεταξύ της αλγοριθμικής και άτυπης στάσης απέναντι στα Μαθηματικά στο σχολείο, και μιας νέας έμφασης στην απόδειξη, η οποία βασίζεται στη λογική, καθώς και μιας περισσότερο αφηρημένης ανάπτυξης γενικών εννοιών, η οποία βασίζεται στη θεωρία συνόλων.

Οι συγγραφείς αυτού του βιβλίου έχουν πολυετή εμπειρία στις πιθανές δυσκολίες που ανακύπτουν κατά τη διδασκαλία σε πρωτοετείς φοιτητές και στη διερεύνηση των τρόπων με τους οποίους σκέφτονται οι φοιτητές και οι μαθηματικοί. Αυτό το βιβλίο εξηγεί τα κίνητρα πίσω από την αφηρημένη θεμελιώδη ύλη βασιζόμενο στην εμπειρία που έχουν οι φοιτητές από τα Μαθηματικά του σχολείου, και προτείνει ρητά τρόπους με τους οποίους οι φοιτητές μπορούν να κατανοήσουν τυπικές ιδέες.

Στη δεύτερη έκδοση σημειώνεται ένα σημαντικό βήμα προς τα εμπρός όχι μόνο κάνοντας τη μετάβαση από διαισθητικές σε τυπικές μεθόδους, αλλά επίσης αναστρέφοντας τη διαδικασία αυτή, χρησιμοποιώντας θεωρήματα δομής για να αποδειχτεί ότι τα τυπικά συστήματα έχουν οπτικές και συμβολικές ερμηνείες που ενισχύουν τη μαθηματική σκέψη. Ένα παράδειγμα αυτής της προσέγγισης δίνεται σε ένα νέο κεφάλαιο σχετικά με τη θεωρία ομάδων.

Στην πρώτη έκδοση η απαρίθμηση επεκτάθηκε σε άπειρους πληθάριθμους, και στη δεύτερη έκδοση οι πραγματικοί αριθμοί επεκτείνονται αυστηρά σε μεγαλύτερα διατεταγμένα σώματα. Με αυτό τον τρόπο οι διαισθητικές ιδέες στον απειροστικό λογισμό συνδέονται με τις τυπικές μεθόδους ε-δ της ανάλυσης. Η προσέγγιση εδώ δεν είναι η συμβατική της «μη τυπικής ανάλυσης», αλλά μια απλούστερη, βασιζόμενη σε γραφήματα, πραγμάτευση που καθιστά την έννοια του απειροστού φυσιολογική και ξεκάθαρη.

Αυτό παρέχει μια περαιτέρω εικόνα του ευρύτερου κόσμου της μαθηματικής σκέψης στον οποίο τυπικοί ορισμοί και τυπικές αποδείξεις οδηγούν σε εκπληκτικούς νέους τρόπους ορισμού, απόδειξης, οπτικοποίησης και συμβολισμού των Μαθηματικών πέρα από προηγούμενες προσδοκίες.